domingo, 20 de abril de 2008

“Hay una dimensión estética para todo. Cada entorno escolar, cada acto de enseñanza, cada ámbito creado para estar en él, acrecientan o disminuyen la calidad de vida. Ya sea que se enseñe ciencia o arte, el desafío consiste en hacerlo bellamente.”
Eliot Eisner, a la Asociación para el Desarrollo y la Supervisión del Currículo.

Introducción

Estimados colegas docentes,

en muchas disciplinas sólo se expone al estudiante los productos de la ciencia, sin explicar cómo se llegó a tal resultado, es decir, sólo se enuncian las conclusiones.
Durante largo tiempo la exposición del “enunciado de las conclusiones” fue la retórica común de los libros de texto e incluso en el plano de la enseñanza superior.

A pesar que lo anterior es una forma de enseñanza que tiene como ventaja la simplicidad y economía de espacio, presenta las siguientes objeciones:

Por omisión: no muestra que el conocimiento científico es algo más que un simple informe sobre las cosas observadas, que es un cuerpo de conocimiento forjado lenta y tentativamente a partir de la materia prima. No muestra que esos materiales y datos primarios surgen de observaciones y experimentos planificados. No muestra que la planificación de experimentos y observaciones provienen de los problemas planteados y que esos problemas se derivan a su vez de conceptos que sintetizan nuestros conocimientos previos.
Por acción: muestra erróneamente a la ciencia como una verdad fija e inmutable y como una ciencia completa.

En el caso particular de la disciplina de Matemáticas, la objeción relevante en la retórica de las conclusiones es el de la omisión, la cual dificulta el aprendizaje ya que se aprenden fórmulas científicas sin entender la lógica que hay detrás. Es mas fácil aprender cuando se entiende el por qué de los resultados.

En el libro “Didáctica de las Matemáticas” de Anthony Norton, segunda edición 1996, encontramos a los siguientes autores que hacen mención de la importancia de la investigación y el descubrimiento por parte de los alumnos en Matemáticas:

Piaget: “la educación matemática supone una interacción activa con el entorno permitiendo así al individuo la construcción del conocimiento y la comprensión”

Biggs: “las matemáticas son un descubrimiento de relaciones y la expresión de dichas relaciones en forma simbólica(o abstracta). Esta no es una definición estática, sino que implica la acción por parte del que aprende, sean cual fueren su edad y capacidad.

Uno de los primeros y famosos estudios de la resolución de problemas en matemáticas, aplicando los principios de la indagación científica, fue el de George Polya (1945) con su obra How to solve it. Él traduce el “Método de Indagación Científica y Entrenamiento para la Indagación” al aprendizaje por descubrimiento de las Matemáticas.

Dado lo anterior, el objetivo de este blog es exponer las principales características de los modelos de enseñanza antes mencionados y mostrar su aplicación en la enseñanza de las Matemáticas. Nuestro propósito, es que todos ustedes puedan contar con esta interesante herramienta de enseñanza.

En este blog encontrarán:
- Resumen del Modelo de Enseñanza “Indagación Científica".
- Resumen del Modelo "Entrenamiento para la Indagación”, que no es más que la aplicación general del “Modelo de Indagación Científica” en un contexto “no experto”.
- Estructura del " Aprendizaje por descubrimiento" en Matemáticas, que tal como se explicó, es la aplicación del “Modelo de Indagación Científica y Entrenamiento para la Indagación” en la enseñanza de esta disciplina (G. Polya, 1945).
- Actividades para desarrollar con los alumnos.

Indice del Blog

Este blog está estructurado en cuatro bloques o Etiquetas (al costado superior derecho):
A) Introducción general.
B) Estructuras de los Modelos de Enseñanza:
b.1) Modelo de Indagación Científica.
b.2) Modelo de Entrenamiento para la Indagación.
b.3) Aplicación "Modelo de Indagación Científica y Entrenamiento para la Indagación" en la enseñanza de Matemáticas (G. Polya, 1945).
C) Actividades
c.1) Introducción a las Actividades.
c.2) Ejercicio 1.
c.3) Ejercicio 2.
c.4) Ejercicio 3.
c.5) Ejercicio 4.
D) Bibliografía

Además, se encontrarán con Encuestas, Sitios, Links de interés y Comentarios.

lunes, 14 de abril de 2008

Modelo Indagación Científica

Modelo de Enseñanza

La esencia de este modelo consiste en comprometer a los estudiantes en un auténtico problema de indagación, enfrentándolos con un área de la investigación, ayudándolos a identificar un problema conceptual o metodológico dentro de esa área, e invitándolos a diseñar métodos para solucionar el problema.

Sintaxis

Fundamentalmente este modelo contiene los siguientes elementos o fases:

- Fase uno: proponer el área de investigación a los estudiantes.
- Fase dos: los estudiantes estructuran el problema.
- Fase tres: los estudiantes identifican el problema en la investigación.
- Fase cuatro: los estudiantes especulan sobre los métodos para superar la dificultad.


Sistema social


El ámbito debe ser riguroso y a la vez cooperativo. Debe haber en el clima un cierto grado de audacia, pero también de humildad.

Principios de intervención


La tarea del docente es fomentar la indagación.
Su objetivo es lograr que los estudiantes se dediquen a la construcción de hipótesis, la interpretación de datos y al desarrollo de estrategias.


Dispositivos y material de soporte


Se requiere un docente flexible, experto en el proceso de indagación.
Se necesita una abundante provisión de áreas problemáticas de investigación con sus consiguientes problemas y las fuentes de datos requeridas.

Aplicación


Existen una gran cantidad de modelos para enseñar las disciplinas como procesos de indagación, todos ellos construidos en torno a los conceptos y métodos de las disciplinas específicas. Este modelo tiene una aplicación muy vasta. En el caso de Matemáticas, tal como se citó anteriormente, el modelo más utilizado es el de Polya.



Efectos formativos en el alumno

Se logra en el estudiante:
- Compromiso con la indagación científica.
- Imparcialidad,o capacidad de sopesar las alternativas.
- Espíritu y capacidad de cooperación.

Modelo Entrenamiento para la Indagación

Introducción

Richard Suchman (1962) desarrolló el “Entrenamiento para la Indagación”, con el fin de enseñar a los estudiantes un proceso que les permitiera investigar .Este modelo los conduce a través de versiones miniaturas de los tipos de procedimiento utilizados por los estudiosos para organizar el conocimiento o para generar principios.
Basado en una de las concepciones de método científico, procura enseñar a los alumnos algunas habilidades, así como el lenguaje propio de la indagación académica.
En resumen, se podría plantear que el “Entrenamiento para la Indagación” es una aplicación general del “Modelo de Indagación Científica” en un contexto “no experto”. Dado lo anterior, este modelo es útil como aplicación general del “Método de Indagación Científica” en el contexto escolar.


Según la teoría de Suchman:


Los estudiantes indagan espontáneamente cuando se asombran.
Pueden tomar conciencia de sus estrategias intelectuales y aprender a analizarlas.
Cabe enseñar directamente las nuevas estrategias y sumarlas a las que ya posee el estudiante.
La indagación cooperativa enriquece el pensamiento y ayuda a los estudiantes a comprender la naturaleza tentativa y emergente del conocimiento, y a valorar las explicaciones.

Modelo de Enseñanza


El modelo se construye en torno a confrontaciones intelectuales. Se le presenta al alumno una situación enigmática y éste la indaga. Todo lo que sea misterioso, inesperado o desconocido es materia prima para la discrepancia.
El objetivo general de este tipo de entrenamiento consiste en ayudar a los alumnos a disciplinarse intelectualmente y a adquirir las habilidades necesarias para formular preguntas y buscar respuestas surgidas de su curiosidad.

Sintaxis

- Fase uno: confrontación del alumno con la situación desconcertante. Explicar los métodos de indagación. Presentar la discrepancia.
- Fase dos: recopilación de datos-verificación. Verificar la naturaleza de los objetos y condiciones, verificar la ocurrencia de la situación problemática.
- Fase tres: recopilación de datos-experimentación. Aislar las variables pertinentes, elaborar hipótesis y probar las relaciones causales
- Fase cuatro: organizar, formular reglas o explicaciones.
- Fase cinco: análisis del proceso de indagación. Analizar la estrategia para indagar y desarrollar las que resultan más eficaces.

Sistema social

Este modelo es estructurado, el docente controla la interacción y prescribe los métodos de indagación. Sin embargo, las normas son las inherentes a la cooperación, a la libertad intelectual y a la igualdad. Es preciso estimular la interacción de los estudiantes
El entorno intelectual está abierto a todas las ideas pertinentes, y los docentes y alumnos deben participar en ellas sobre una base equitativa.


Principios de intervención

El docente debe:
Asegurarse que las preguntas se formulen de un modo que no se le exija hacer la indagación a él.
Pedir a los estudiantes que formulen nuevamente las preguntas que no son válidas.
Señalar los puntos no válidos.
Usar un lenguaje propio del proceso de indagación.
Proporcionar un entorno intelectualmente libre,no evaluando las teorías del estudiante.
Incitar a los alumnos a enunciar más claramente sus teorías y brindarles apoyo cuando generalizan.
Estimular la interacción de los estudiantes.

Dispositivos y materiales de soporte

Conjunto de materiales de confrontación.
Un docente que comprenda los procesos intelectuales y las estrategias de la indagación.
Materiales de consulta relacionados con el problema.

Aplicación “Modelo de Indagación Científica y Entrenamiento para la Indagación” en la enseñanza de Matemáticas (G. Polya, 1945).


Según lo señalado, el “Modelo de Entrenamiento para la Indagación” es una aplicación general del “Modelo de Indagación Científica” cuando se trabaja en un contexto no experto, como lo es el contexto escolar. A su vez, en particular, en la disciplina de las Matemáticas, Polya aplica estos modelos para ¨aprender por descubrimiento¨ (How to solve it). Cada fase del modelo planteado por Polya encuentra su explicación en el“Modelo de Indagación Científica y Entrenamiento para la Indagación”,tal como se muestra en el esquema.
Cada etapa del método de Polya, consiste en:
1) Comprensión del Problema:
- Confrontación del alumno con una situación desconcertante.
- Recopilación de datos-verificación
2) Concepción de un Plan:
- Recopilación de datos-experimentación.
-Elaboración de una estrategia de indagación.
3) Realización de un Plan:
- Puesta en marcha del Plan: Indagación.
- Organizar, formular reglas o explicaciones.
4) Comprobación:
- Análisis del proceso de indagación.
- Establecer conclusiones.
Tal como se explicó, todas estas etapas no son más que la aplicación del Modelo de Entrenamiento para la Indagación, el cual a su vez es una aplicación del Modelo de Indagación Científica. Por lo tanto, para mayores detalles de cada etapa, ir a la(s) etapas del modelo de origen correspondiente (ver esquema).

Introducción a las actividades

Las actividades que se mostrarán a continuación corresponden a planteamientos de problemas matemáticos, para cuya resolución se aplicará el método de Polya (aplicación a las Matemáticas del "Modelo de Indagación Científica y Entrenamiento para la Indagación"). Para que se pueda apreciar claramente la aplicación, las resoluciones de cada ejercicio se dividirán en las cuatro etapas de este método:
- Comprensión del Problema.
- Concepción de un Plan.
- Realización del Plan.
- Comprobación.

domingo, 13 de abril de 2008

Ejercicio 1

La siguiente actividad consiste en enseñar a los alumnos las propiedades de los Polígonos siguiendo las etapas del Aprendizaje por Descubrimiento (aplicación a las matemáticas del Modelo de Indagación Científica y Entren. para la Indagación).

1.- Comprensión del Problema:

Recordatorio del profesor al curso (Recopilación datos-verificación):
- Los lados de un polígono se llaman aristas y se juntan en un punto llamado vértice.
- Las diagonales son trazos o segmentos que se trazan de un vértice a otro, siendo estos vértices no consecutivos entre sí.


El profesor plantea una situación desconcertante a los alumnos (planteamiento del problema a indagar):

En un Pentágono (polígono de 5 lados) se pueden trazar 2 diagonales desde un sólo vértice.
¿ Cuántas diagonales desde un sólo vértice se pueden trazar en un polígono de 8, 10 y 12 lados?.
¿ Cuál es la relación entre el número de lados de un polígono y la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de éste?


Ejemplo de interacción que se puede dar entre alumno(A)-Profesor(P) durante la comprensión del problema (Recopilación datos-verificación):

A: ¿ tenemos que dibujar las diagonales de todos los vértices?
P: No. Alumna lea nuevamente el problema planteado. (el profesor debe dar, en lo posible, sólo respuestas afirmativas o negativas e invitar a que los propios alumnos respondan sus dudas, no indagar por ellos).
A: " ¿ Cuál es la relación entre el número de lados de un polígono y la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de éste?"
P: entonces....¿ tenemos que dibujar las diagonales de todos los vértices?
A: ¡las de un sólo vértice!
P: Muy bien. Ahora...¿cuál es la incógnita del problema?
A: El número de lados.
P: A ver...si en el enunciado yo le estoy dando como ejemplo un pentágono...¿ no se saben cuántos lados tiene el polígono?
A: ahhh...sí. Cinco lados
P: Entonces....¿ cuál es la incógnita de este problema?
A: el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice
P: Muy bien. Ahora que tenemos claro el planteamiento del problema, pasaremos a la concepción de un plan para indagar.

2.- Concepción de un Plan:
- Al tener comprendido el problema se debe diseñar una estrategia para indagar y así poder resolverlo.
- Para esto, el profesor les dice a los alumnos que la estrategia que ocuparán será que ellos deben dibujar en cartulinas polígonos de distintos lados y trazar las diagonales desde un vértice de éste. Además, el profesor les indica que utilicen tablas da datos (vistas en cursos anteriores) para anotar sus deducciones o inferencias.

Al indicar el plan a seguir, el profesor les indica que deben comenzar la indagación. Con esto pasamos a la siguiente fase:

3.- Realización de un Plan:
En esta etapa los alumnos indagan en el problema planteado, utilizando el plan concebido en la etapa anterior.
Después de un tiempo prudente, en que los alumnos tuvieron tiempo suficiente para indagar y hacer sus inferencias, el profesor le pide a uno o varios alumnos que expongan los resultados de su investigación.

Una alumna (A) pasa frente al curso y expone sus hallazgos:



A: profesor, al dibujar las diagonales desde un vértice de todos estos polígonos , obtuve la sigiente tabla de datos:


A: por lo tanto, analizando esta tabla de datos, inferí que en todos los casos, coincidente, se da que: el número de las diagonales que puedo trazar desde un vértice de un polígono (Dv), es igual al número de lados de ese polígono (n) más una constante 3. Es decir, se da la ecuación: Dv= n+3

4.- Comprobación:

En esta etapa final, el profesor invita a los alumnos a analizar los hallazgos encontrados en la etapa anterior, los invita a analizar la posible generalización de las deducciones que hicieron.
- Para esto, le pide a otro alumno que pase al pizarón y aplique la fórmula encontrada por su compañera en otros polígonos (uno de 15 lados y otro de 20 lados).
- El alumno simultaneamente dibuja los polígonos con las respectivas diagonales y reemplaza los datos en la fórmula planteada por su compañera.


- El alumno concluye que se obtiene el mismo resultado, por lo tanto, la fórmula encontrada se puede generalizar.

- Como conclusión, el profesor les explica a los alumnos que a través de su indagación, han llegado a una fórmula que corresponde a una de las propiedades de los polígonos, que dice " El número de diagoneles que se pueden trazar desde un vértice de un polígono es igual al número de lado del polígono más 3":

- Finalmente, el profesor les explica a los alumnos que han podido experimentar el proceso de indagación que hizo que muchos años atrás, un científico matemático llegara a esta propiedad general de los polígonos.
El profesor les hace ver a los alumnos que dado lo anterior, pudieron experimentar un aprendizaje profundo, ya que al haber podido inferir ellos mismos la fórmula, internalizaron ésta de una manera mucho más efectiva que sí sólo se les hubiera expuesto dicho resultado y se lo aprendieran de memoria para su posterior aplicación en ejercicios.

Ejercicio 2

1. -Comprensión del Problema. Un hombre puso una pareja de conejos en una jaula. Durante el primer mes, los conejos no tuvieron descendencia pero cada uno de los meses posteriores produjeron un nuevo par de conejos. Si cada nuevo par producido de este modo se reproduce de la misma manera, ¿cuántos pares de conejos habrá al final de un año?
Este es un problema famoso de la historia de las matemáticas y apareció por vez primera en el libro Liber Abaci, escrito por el Leonardo Pisano (También conocido como Fibonacci) en el año 1202. Apliquemos el proceso de Polya para resolverlo.


2.-Concepción del Plan:Después de varias lecturas, podemos reformular el problemas como sigue. ¿Cuántos pares de conejos tendrá el hombre al final de un año, si inicia con una pareja que se reproduce de esta forma: durante el primer mes de vida, ninguna pareja produce nuevos conejos, pero cada mes posterior, cada pareja produce un nuevo par?
Formule un plan. Ya que hay un patrón definido de como se producirán los conejos, podemos construir una tabla y llenarla con información. La tabla inicial se vería como esta:




Una vez que las entradas hayan sido completadas, la última entrada de la columna final será nuestra respuesta.


3.- Realización del plan: al inicio del primer mes hay solamente hay un par de conejos, como se especifíca en el problema. Durante el primer mes no se produce un nuevo par, así que hay 1+ 0 = 1 par presente el final de primer mes. Este patrón continua a través de toda la tabla. Sumamos el número de la primera columna al número de la segunda, para obtener el número de la segunda, para obtener el número de la tercera.Continuamos en esta forma hasta el duodécimo mes.




De acuerdo con nuestra tabla, habrá 233 pares de conejos al finalizar el año.

4. -Comprobación: Este problema puede verificarse volviendo atrás para asegurarnos de que los hemos interpretado correctamente, y así ha sido. Verifique dos veces la aritmética. hemos contestado la pregunta planteada en el problema, así que el problema queda resuelto
La sucesión mostrada en negritas en la tabla del ejercicio es la sucesión de Fibonacci.

Ejercicio 3

1.- Comprensión del Problema:

"En un colegio todos los cursos tienen el mismo número de alumnos. El total de estudiantes del colegio es 420 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso, si la suma de dos primeros años de enseñanza media, más el doble de esos dos cursos, más el triple de los dos primeros medios suman la matrícula del establecimiento?. "

- ¿Qué se piden, cuál es la pregunta?
Se pide el número de alumnos que tiene cada curso.
-¿Qué se sabe?
N° total de alumnos del colegio es 420.
También se sabe que cada curso tiene el mismo número de estudiantes y que se cumplen ciertas condiciones planteadas en el enunciado.

2.-Concepción de un plan:
Se debe encontrar las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido.
El problema plantea una igualdad entre un total de alumnos y tres condiciones:"la suma de dos primeros años de enseñanza media, más el doble de esos dos cursos, más el triple de los dos primeros medios suman la matrícula del establecimiento".
Por lo tanto, el problema puede quedar planteado de la siguiente forma:
La matrícula total del colegio es igual a la suma de dos primeros de enseñanza media más el doble de los primeros más el triple de los dos primeros. Es decir:
420 = 2X + 4X + 6X
También podemos escribir la ecuación de la forma siguiente:
2X + 4X +6X = 420

3.-Realización de un plan:
Ahora se aplicará el plan diseñado
2X + 4X +6X = 420
12X = 420
X =
X = 35
El número de alumnos por curso es 35

4.-Comprobación:
Examinar la solución obtenida
Una ecuación ofrece el modelo para resolver el problema. Al reemplazar la incógnita por valores la igualdad se cumple, o sea:
70 + 140 +210 =420
Lo que está correcto.
Revisar el procedimiento, ¿se puede usar en situaciones equivalentes?
Por ejemplo, cambiar el número total de alumnos del colegio, ver qué pasa si se dobla la matrícula de alumnos del problema, ocupar 840 en reemplazo de 420.

sábado, 12 de abril de 2008

Ejercicio 4

1.-Comprensión del problema: En un criadero de gallinas, se recogen 485 huevos durante la primera partida de la mañana, si los huevos se envasan en cajas de 12. ¿Cuántas cajas se obtendrán de la primera partida?
Al tratar de comprender el problema, algunas de las preguntas que podrían formular los estudiantes serán:
- ¿Cuántos huevos se recogieron?
-¿Cómo se envasan los huevos? ¿De a cuantos?
-¿Es importante este hecho?
-¿Cada caja está completa?
-¿En una caja cuántos huevos vienen?
-¿Cuál es la pregunta del problema?
-¿Puedes formularla de otra forma, con tus propias palabras?


2.-Concepción del Plan: para ello se puede desarrollar cualquiera de estas estrategias
- Obtener fichas y hacer grupos de a 12. Se esta experimentando.
- Dibujar un esquema de 12 huevos para visualizar el problema.
- Pensar que 10 cajas de 12 huevos hacen 120 huevos.
- Escribir los grupos de 120 que hay en 485: 120, 240, 360,480. De esta manera se aproxima a la solución del problema.
- Construir una tabla de datos.
- Dividir para encontrar el número de cajas.
485/12= se esta haciendo el cálculo directo.
Resumiendo las estrategias son variadas, hacer diagramas, tablas, gráficos, listas organizadas, experimentar, calcular, etc.

3.-Realización del Plan: en esta etapa ya se puede llevar a cabo la estrategia que parezca más adecuada.
Es conveniente ensayar usando las estrategias. De este modo es posible darse cuenta que en este caso, trabajar con fichas no es conveniente, no permite llegar a la solución en un tiempo razonable, por lo tanto, hay que elegir otra de las estrategias diseñadas. Si se elige construir una tabla se obtendrá la solución más rápidamente.

4.-Comprobación: para estar seguro de haber encontrado la solución correcta, es conveniente revisar los pasos dados anteriormente.
Para adquirir experiencias y lograr el desarrollo de habilidades para la resolución de problemas conviene extender la situación problemática para crear variaciones o crear nuevos problemas.
- Si se recogieran 620 huevos, ¿se podría resolver el problema usando la misma estrategia?
- Si se recoge tres veces al día, 485, 348 y 500 cada vez, ¿Cuántas cajas se obtienen al día?
- Si en vez de cajas se hacen bandejas donde caben 30 huevos, ¿Cuántas bandejas se obtienen?
- ¿Es posible establecer alguna relación?

Ejercicio 5

Tres Ardillas y un montón de Nueces

Descripción General
Cuando se resuelve un problema de aplicación de alguna ecuación, se pueden utilizar diferentes métodos para encontrar la solución. Este proyecto muestra a estudiantes y profesores algunas estrategias específicas, para resolver problemas basados en una historia. En este caso particular, averiguar de cuántas maneras pueden repartirse tres ardillas un montón de nueces. Aquí se presentan las siguientes estrategias: manejo de objetos físicos para representar el problema, utilización de tablas (en este caso electrónicas), para representar datos y, representación algebraica de la ecuación mediante el uso de Hojas de Cálculo (Excel). El proyecto también muestra cómo usar una variante de la metodología general de solución de problemas de Polya, aplicada a un problema previamente establecido. Además, se busca que los estudiantes puedan indagar y crear sus modelos propios de solución. Como resultado de la realización del proyecto, se espera que los estudiantes mejoren sus habilidades algebraicas.

Objetivos Específicos del Proyecto
1. Ofrecer a los estudiantes la oportunidad de poner en práctica algunas estrategias para resolver problemas de Algebra básica, utilizando el computador y objetos físicos.
2. Usar las hojas de cálculo como una herramienta para la solución de problemas sobre ecuaciones, basados en una historia.
3. Utilizar un modelo para construír y resolver problemas basados en una historia.
Desarrollo de Proyecto
El profesor deberá:
1. Repasar con los estudiantes estrategias de solución de problemas. Luego, plantear algunos en los que el problema se describa mediante un relato que posteriormente pueda traducirse a lenguaje matemático. Existe una gran variedad de problemas de aplicación de ecuaciones algebráicas en los libros de texto de Algebra. Se sugiere trabajar con problemas de aplicación de ecuaciones algebráicas lineales.
2. Convertir la información escrita en datos que se puedan extraer del problema planteado, identificando al mismo tiempo las cantidades que se deben encontrar, (Paso 1 de la metodología general de solución de problemas de Polya).
3. Plantear la ecuación correspondiente. Para esto se deben identificar claramente las variables que representan los datos desconocidos y las relaciones que se establecen entre ellas (Pasos 2 y 3 de la metodología general de solución de problemas de Polya).
4. Dividir la clase en dos, para que la mitad resuelva el problema a través de las ecuaciones obtenidas y la otra mitad lo logre por ensayo y error dando valores arbitrarios a las variables, hasta encontrar una solución del problema. Las respuestas deben darse de acuerdo al contexto del problema planteado (Paso 4 de la metodología general de solución de problemas de Polya).
5. Utilizar los puntos anteriores como un medio para estimular en los estudiantes el deseo de resolver problemas más complejos usando tanto hojas electrónicas de cálculo como objetos físicos. Los objetos físicos pueden ser cualquier instrumento real que el estudiante usa para representar una cantidad numérica; por ejemplo un conjunto de fríjoles, cubos o los dedos de la mano.
6. Dividir la clase en grupos de tres personas de tal forma que una tercera parte use la estrategia de ensayo y error, otra tercera parte use procedimientos de algebra { En esta estrategia los estudiantes deben derivar la fórmula F=(8N - 38)/81, donde N corresponde al número de nueces en el montón original, para averiguar el número de nueces que obtuvo cada ardilla al final (F) } ; y la última, de las terceras partes, utilice objetos físicos como estrategias para resolver un problema más complejo que el planteado inicialmente en los puntos anteriores. El problema general a resolver consiste en averiguar de cuántas maneras pueden tres ardillas ingeniosas repartirse un número dado (montón) de nueces.

El Estudiante deberá:
1. Analizar el problema que se plantea a continuación, utilizando como marco de referencia para la solución del mismo, la metodología general de solución de problemas planteada en la sección anterior. "Tres ardillas consiguen un montón de nueces y las dejan fuera de su madriguera. Durante la noche, una de las ardillas se levanta hambrienta y decide tomar la tercera parte de ellas. Sin embargo debe comerse una nuez antes de tomar exactamente la tercera parte. La ardilla deja las dos terceras partes del montón y vuelve a la casa. Luego sucede exactamente lo mismo con otra de las ardillas: Se levanta hambrienta, decide comerse su parte, pero tiene que comerse una nuez para poder tomar exactamente la tercera parte. Deja las dos terceras partes de lo que queda y se devuelve a la casa. Por último, se levanta la tercera ardilla y hace lo mismo: Se come una nuez para poder tomar exactamente la tercera parte del montón que queda. A la mañana siguiente, las tres ardillas se levantan y se reparten las nueces que quedan, en partes iguales, ¿Cuántas nueces recibió cada una?, ¿Cuántas nueces había inicialmente?.
2. Cada grupo escoge una de las tres estrategias de solución indicadas y explicadas por el profesor para resolver el problema. Todos los grupos deberán resolver el problema usando las tres estrategias en distinto orden.
3. Resolver el problema con la estrategia X, o de ensayo y error, que se describe a continuación y en la que se deben tener en cuenta los siguientes pasos: Crear una hoja de cáculo en la que las filas representan a cada ardilla y las columnas representan lo que comen. En una columna se representa el número de nueces del montón, en otra las nueces que quedarán después de haber comido una y en la tercera el número de nueces que dejó. Crear fórmulas en las casillas, así: para la primera ardilla, B2 de la hoja electrónica (nueces del montón), se deja sin fórmula, la siguiente, C2, sera B2-1 y la tercera, D2, será (C2/3)*2. La primera fórmula para la segunda ardilla será igual a D2, pues fue lo que dejó la anterior ardilla. Se deben producir fórmulas similares para el resto de la hoja electrónica. También se pueden generar fórmulas para el total de nueces de cada ardilla.



4. Ensayar con distintos números en B2, hasta llegar a una respuesta en la que todos las cantidades de nueces sean números enteros, pues se espera que la ardillas se coman las nueces completas. Imprimir los resultados para el profesor y para el grupo.



5. Resolver el problema con la estrategia Y, llamándola, el poder del álgebra. · Usar la plantilla del proceso anterior borrando las fórmulas y dejando los mismos encabezados. En las dos siguientes filas, (5 y 6) defina las variables, N= Nueces en el montón original y F= Número que de nueces que obtuvo cada ardilla al final. · N será entonces la entrada del número de nueces en el montón para la ardilla 1 · F será entonces la tercera parte del número de nueces que quedaron al final, así: F=1/3 (De la última entrada de la tabla). · Llenar la tabla y escribir en la parte inferior de la misma una ecuación algebraíca que permita encontrar la solución del problema. Se deben mostrar los pasos que se siguieron para establecer la ecuación y la simplificación de la misma. · Probar la ecuación con diferentes números hasta encontrar una solución que se debe imprimir
6. Resolver el problema usando la estrategia Z, usando nueces físicas ( o algún sustituto de ellas como fríjoles secos o lentejas) para resolver el problema. En este caso los estudiantes simulan a las ardillas y resuelven el problema siguiendo el libreto dado en la descripción del problema. Deben además, consignar los resultados que van obteniendo en cada posible ronda de solución, en un documento escrito en un procesador de palabra. Pueden ser varias rondas. También deben escribir frases con algunas imágenes alusivas que describan los pasos y los números que los llevaron a la solución. Esta información puede ser útil para los alumnos cuando ellos tengan que generar sus propios problemas.
7. Escribir un problema de características similares al de las ardillas: El problema deberá tener por lo menos tres pasos y requerir para su solución al menos dos de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Esta actividad debe hacerse en grupo.
8. Compartir con el resto del grupo los problemas generados para que sean resueltos por los demás, siguiendo las mismas estrategias usadas durante el proyecto

Evaluación
Basándose en la solución del problema planteado inicialmente, el profesor puede determinar el nivel de comprensión alcanzado por los estudiantes en la estrategia usada. Los problemas que los estudiantes generen pueden complementar la evaluación, teniendo en cuenta el nivel de dificultad, las soluciones planteadas y los parámetros establecidos con anterioridad para la ejecución del proyecto. El profesor está en libertad de crear cualquier otro criterio de evaluación que considere pertinente, de acuerdo al desarrollo del currículo de la materia a la que corresponde el proyecto.

Bibliografía

- "Modelos de Enseñanza". Autores: Bruce Joyce-Marsha Weil (con Emily Calhoun). Capítulo 10, "La Indagación Científica y el Entrenamiento para la Indagación".
- "Didáctica de las Matemáticas". Autor: Anthony Orton, Segunda Edición, 1996.